查看完整版本: [open]费马点[已解]

[open]费马点[已解]

<P>三角形的费马点想必大家都很清楚
那么对于一般的四面体，也存在经过四点的最短路线
该路线的长度怎么计算?</P>
<P>
</P>
[align=right][color=#000066][此贴子已经被作者于2004-7-2 12:49:25编辑过][/color][/align]

<P>对于四面体ABCD，取点O使得角AOB=角COD,角BOD=角AOC,角AOD=角BOC,那么O点到四点A,B,C,D的距离最小，</P><P>这样算不算结论？</P>

<P>你给出的结论并不直接是原问题的答案</P>
<P>问题是要求最短路线。而不是某点到四顶点距离和的最小值</P>

最短路线有可能由5个线段构成

<P>如果这样，有3种情况：</P><P>i)三条折线线段:枚举10种情况，折线ABCD,ACBD,ABDC,ACDB,ADBC,ADCD,BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CBAD</P><P>ii)三条星形线段:枚举4种情况 (线段AB,AC,AD)，(线段BA,BC,BD),(线段CA,CB,CD),(线段DA,DB,DC)</P><P>iii)4个线段，分两类：</P><P>      1）OA+OB+OC+OD,也就是上面提到的情况，要求角OAB=角OCD,....
      2) OA+OB+OC+CD, OA+OB+OC+BD,.... 共12种组合。</P><P>iv)5个线段，O1O2+O1A+O1B+O2C+O2D, ... 共3种组合(O1,O2两个新添加的点无顺序）。</P><P>       比如对于上面第一种组合，要求:O1,O2,A,B共面，O1,O2,C,D共面，而且O1是三角形O2AB的费马点，O2是三角形O1CD的费马点:) 不过这种情况还不知道如何去计算O1,O2比较方便.</P>

<P>还有，其实上面i),ii),iii)三种情况都可以看成iv)的退化情况（比如i)可以看成O1同B重合，O2同C重合）</P>

<P>iv)作法比较有意思。过AB的中点U作平面P垂直AB,过CD中点V作平面Q垂直CD</P><P>以U为圆心sqrt(3)/2*|AB|为半径在平面P上作园C1,</P><P>以V为圆心sqrt(3)/2*|CD|为半径在平面Q上作园C2.</P><P>设U在平面Q上投影为U',U'V交C2于Y (离U'较远的点)</P><P>设V在平面P上投影为V',UV'交C1于X(离V'较远的点）</P><P>连接XY,那么XY将同AB和CD都相交。</P><P>然后在XY上取O1,O2点，使AO1B=CO2D=120度，就可以了。(通过在XYAB平面作过AB的园，使AB弧对应圆周角为60度就可以了）</P>

<P>请补充出证明</P>

<P>呵呵，太冗长了。</P><P>第一步要证明最短路径中没有曲线，全是折线段。</P><P>第二步证明这些折线段构成一个图论中的树，而树中点的数目不超过6个点（也就是最多两个添加的点，可以利用的性质是每个添加的点的度数不小于3，如果添加k个点，总度数不小于3k+4,所以(3k+4)/2&lt;=(k+4)-1）</P><P>第三步然后就是对这样的树进行分类，就得到上面的分类。</P><P>最后计算每一种情况的极值。</P><P>对于情况iv),在取到极值的非退化情况(退化情况已经转化为前面各种），两个添加点连出三条线两两夹角为120度(因为相互为费马点）比如O1为三角形ABO2的费马点，那么O2O1的延长线必然为角AO1B的平分线。设这条延长线交三角形AO1B的外接圆于M,那么角AO1M=角BO1M,所以M为弧AB的中点所以M和AB的连线垂直AB,而且M到AB的距离是常数(因为弧AB的圆周角为常数120度),即AB的sqrt(3)/2倍，所以我们以AB的中点为圆心，sqrt(3)/2*AB为半径，在AB的中垂面上做圆的话，M必然在这个圆周上。而MO1O2三点共线。</P><P>上面的作图方案就是基于这个结论。</P>

我有答案

是四面体还是四边形，四面体不止四个点吧！四边形我可以负责任的说，有最短路线解决方法，但没有一个点，有的话很多