LIKEME 2007-5-1 22:31
[评委题目及答案]数学
<p> 智星锁厂生产一种门锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度为{1，2，3，4，5，6}（单位略）中的任意一个数。当然由于工艺原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。在当前的工艺条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。原来，锁厂在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们就会抱怨购得的锁具会出现互开情形。<br/>问题：1. 批锁具有多少个？按60个一像装多少箱？（4分）<br/><br/>2）提出一种方案，包括如何装箱（仍是60个锁具一箱）；如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。 <br/>3）采取你提出的方案，团体顾客购买量不超过多少箱就可以保证一定不会出现互开的情形。(2、3问共16分)<br/></p><p><br/>1、6^5-{C(6,1)+C(6,2)-1]*[C(2,1)*C(5,2)+C(2,1)*C(5,1)]}-{(6^3*2+5*6^2*2)*2-[(10+2+2+18)*2+50]}=5880<br/>5880/60＝98</p><p>2、3、互开的两把锁奇偶性不同。因此求每把锁5数之和，考虑结果的奇偶性，在每箱内保持奇偶一致并标明。同一团体顾客只售予具有相同奇偶性的箱子。题目所有条件对结果奇偶性的影响是对称的，因此98箱可以平分为各49箱。在此方案下，只要不超过49箱就不会出现互开。</p><p>PS：此题目系1994全国大学生数学建模竞赛B题前三问。证明及进一步讨论略去。<br/></p>
[align=right][color=#000066][此贴子已经被作者于2007-5-1 22:33:36编辑过][/color][/align]
LIKEME 2007-5-1 22:38
<p>大话队提交答案及得分</p><p>1.将一个数和二个数的减去即可。 <br/>r(n)=4r(n-1)+2t(n-1) <br/>t(n)=4r(n-1)+t(n-1) <br/>r(0)=t(0)=1 <br/>r(5)=6306 <br/>一个数：6种 <br/>二个数：先决定是哪二个数C(6,2)-1=14(去掉1－6这种情况),然后考虑如何分。 <br/>可以是1－4分，也可是2－3分 <br/>即： 2×(C(6,2)-1)(C(5,1)＋C(5,2))=420<br/>一二相加共426种。 <br/>6306－426＝5880，装98箱。</p><p>2.能互开，则弹子数相差1。故将弹子数为奇数的分为第一组，标号1，偶数分为一组，标为2。出售时一批只卖1号，或者2号。 <br/>3.由于分为了两批，一批49箱，故只要一次不超过49箱，就没有抱怨。</p><p>[color=red] 全中!20分。[/color]</p>
LIKEME 2007-5-1 22:40
<p>饭桶队提交答案及得分</p><p>1. 一批锁具有多少个？按60个一像装多少箱？（4分） <br/>全排列 6^5 =7776 <br/>其中小于3个数组成 6+C(6,2)*(2^5)=6+480=486 <br/>其中同时含1,6两槽的组合 <br/> a.1,6占两位 不符合条件2的有512<br/> b.16占三位 不符合条件的有736 <br/> c.16占四位 不符合条件的有256 <br/> (过程较繁,略) <br/> <br/>7776-486-(512+736+256)=5786 <br/>一批有5786个,按60个装96箱多一些,或97箱.</p><p>[color=red] 0分[/color]</p>
LIKEME 2007-5-1 22:41
<p>通吃队提交答案及得分</p><p>一：<br/>三个以上不同数字5位数组合减去其中1，6相邻的情况：<br/>7320-1424=5896个<br/>装99箱</p><p>[color=red] 0分 [/color]</p>
LIKEME 2007-5-1 22:44
<p>小泥巴队提交答案及得分</p><p>符号说明<br/>hi：表示锁具钥匙第i个槽的高度，i=1,2,3,4,5, hi∈{1,2,3,4,5,6},</p><p>问题分析与求解<br/> 由题意，该厂生产的弹子锁具由于其钥匙有5个槽，所以可以用五元数组来刻划一个锁具，引入数组<br/>key=(h1, h2, h3, h4, h5 )<br/>因此，五元数组key应满足下述条件：<br/> 1）．hi∈{1,2,3,4,5,6}, i=1,2,3,4,5<br/> 2）．对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5至少有三个是不同的<br/> 3）．对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5有 │hi□hi□1│□5, i□2,3,4,5,<br/>1．一批锁具个数的计算<br/>设一批锁具集合为S，显然有<br/>S={key |key=(h1, h2, h3, h4, h5),hi∈{1,2,3,4,5,6}}, i=1,2,3,4,5,且key 为一锁具}<br/>根据乘法原理，有数组(h1, h2, h3, h4, h5),hi∈{1,2,3,4,5,6}的总个数为65个，但要想使key成为一个锁具，还要有如上条件2)、3)的限制，因此可以知道锁具的个数小于65．利用计算机采用枚举方法可采用逐一检验条件1、2、3可求出锁具的总个数和装箱数分别为：5880个和98箱<br/>2、<br/>因为两个锁具可以互开的条件为：两个锁具有四个槽高相同，其余一槽高相差为1，因此其必为两个相邻的自然数, 具有不同的奇偶性,所以为奇数的不可能互开，偶数的也不可能互开，设奇数为A，偶数为B，装箱时A装一起，B装一起，这样就能减少锁具的互开了。</p><p>3、采取你提出的方案，团体顾客购买量不超过多少箱就可以保证一定不会出现互开的情形:<br/>49箱之内应该不会出现互开的情况的。</p><p>[color=red] 全中，20分[/color]</p>
LIKEME 2007-5-1 22:46
<p>傅乐队提交答案及得分</p><p>解答：<br/> <br/>① 所有的门锁个数为n=65=7776；<br/>② 仅有一个槽高的锁具数目为 n1= <br/>③ 仅有二个槽高的锁具数目为 n2= (25-2)=450<br/>④ 相邻两个槽的高度之差不能为5，也就是1和6不能在一起，则分类讨论如下：<br/>设相邻两个槽的高度之差为5的锁具的集合为A<br/>A1： 16abc 或 61abc<br/>A2： a16bc 或 a61bc<br/>A3： ab16c 或 ab61c<br/>A4： abc16 或 abc61<br/>其中a,b,c可以取1,2,3,4,5,6这几个自然数中的任一个.显然A= A1＋A2＋A3＋A4<br/> <br/>设n(A)为集合A中元素的个数，则由集合论的知识得<br/>n(A1)= n(A2)= n(A3)= n(A4)=2×63＝432<br/> <br/>A1A2类型的门锁槽为161ab或616ab，<br/>则n(A1A2)=2×62=72，同理n(A2A3)=n(A3A4)=72；<br/> <br/>A1A3类型的为1616a或1661a或6116a或6161a，<br/>则n(A1A3)=24，同理n(A1A4)=24,n(A2A4)=24；<br/> <br/>A1A2A3类型的门锁槽为1616a或6161a，<br/>则n(A1A2A3)=2×6=12，同理n(A2A3A4)=12；<br/> <br/>A1A2A4类型的门锁槽为16116或16161或61616或61661，<br/>则n(A1A2A4)=4，同理n(A1A3A4)=4；<br/> <br/>A1A2A3A4类型的门锁槽为16161或61616，<br/>则n(A1A2A3A4)=2；<br/> <br/>所以，n3=n(A)=432×4-3×72-24×3+12×2+4×2-2=1470；<br/> <br/>5个槽中仅有两个高度，且相邻高差为5的锁具个数为n4=25-2=30.<br/> <br/>最后可以得到一批锁具的个数为n-n1-n2-n3+n4 =5880<br/> <br/>所以每批锁具有5880把，可以装5880/60＝98箱。<br/> <br/> <br/>因为互开的两个门锁有四个槽高度相同,仅有一个槽高度差1，那么可以互开的两个门锁槽的高度为相邻的两个自然数，则可以把所有的门锁分为奇数和偶数两类；<br/> <br/>对任意一个门锁的槽高度的排列h1h2h3h4h5,我们用7分别减去每个高度，形成另一个与其对偶的排列:(7-h1)(7-h2)(7-h3)(7-h4)(7-h5)，发现这两个门锁的槽高度的总和是35，必定是一奇数一偶数，而且一一对应，则可以推出所有的门锁中<br/> 槽高度和为奇数的个数=槽高度和为偶数的个数=5880/2＝2940<br/> <br/>所以我们的策略是每个门锁标记总槽数和，并奇偶分开，那么每次销售不超过2940/60＝49箱的时候，是不会出现互开的情况的。<br/> <br/>没有证明这种奇偶分类是否是最佳策略，49箱是否是最大数目。</p><p>[color=red]20分。 [/color]</p>
