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IMO选拔题

X Y都是实数。求： X^3+Y^3=1 且X^5+Y^5=1 的所有解，并说明理由。

答案

若1>X>0 则有 1>Y>0 所以1=X^3+Y^3>X^5+Y^5=1 矛盾
由对称性,不妨设Y=<X 这时必有X>=1 从而Y<0 设Z=-Y 则 X^3-Z^3=1且X^5-Z^5=1
所以,在X>1时  Z^3=X^3-1<X^5=Z^5
从而Z>1 由于X^3-Z^3=X^5-Z^5
所以X^2+XZ+Z^2=X^4+X^3Z+X^2Z^2+XZ^3+Z^4
但右边显然大于左边,因此只有 X=1 Y=0 或 X=0 Y=1

答案

若1>X>0 则有 1>Y>0 所以1=X^3+Y^3>X^5+Y^5=1 矛盾
由对称性,不妨设Y=<X 这时必有X>=1 从而Y<0 设Z=-Y 则 X^3-Z^3=1且X^5-Z^5=1
所以,在X>1时  Z^3=X^3-1<X^5=Z^5
从而Z>1 由于X^3-Z^3=X^5-Z^5
所以X^2+XZ+Z^2=X^4+X^3Z+X^2Z^2+XZ^3+Z^4
但右边显然大于左边,因此只有 X=1 Y=0 或 X=0 Y=1

显然有无穷多组解啊.楼主是不是叙述错误了?是不是应该是整数解,如果是这样,答案也相当明显了.