皮亚诺公理体系
序数理论
我们知道，自然数具有双重的意义，一方面表示数量的意义，即回答“多少个”的问题，而另一方面是表示次序上的意义，即回答“第几个”的问题．基数理论仅仅反映了“多少个”的问题，对于“第几个”的问题就揭露得很不明显，而序数理论则是弥补这方面的缺陷的．
序数理论是完全采用公理化的方法，由两个原始的概念：“集合”、“后继”与四条公理为基础，并且还使用“对应”的概念而建立起来的．
1891年意大利数学家皮亚诺证明了自然数的一切性质都可以从下面四个公理推出，这些公理叫做皮亚诺公理体系．
定义 任何一个非空集合N的元素叫做自然数，如果在这个集合里的某些元素之间有一个叫做“直接后继”的基本关系(即对N中每个元素a来说，都相应地有一个叫做a的直接后继的元素a’∈N)，且满足下面的公理：
(1)存在一个元素，记作1，它不是N中任何元素的后继元素(即1∈N，对于任意元素a∈N，a’≠1)．
(2)N中每个元素a，有且仅有一个后继元素a’(即如果a=b，那么a’=b’)．
(3)除1以外，任何元素只能是一个元素的后继元素(即如果a’=b’，那么a=b)．
(4)(归纳公理)．若N的子集M满足
①1∈M；
②当a∈M时，有a’∈M，
则M=N．
公理(1)说明1是自然数，而且是N里最前面的数；公理(2)、(3)说明任何一个数都有唯一的后继数(指直接后继数)，并且不同的自然数的后继数也不同．这样，1的后继数1’是自然数，记作2(即1’=2)；2的后继数2’是自然数，记作3(即2’=3)；…；这样继续下去就得到自然数列
1，2，3，…，n，…．
公理(4)是第一数学归纳法原理的理论根据．
