试试有没有平面几何高手？学生应该占先吧？
三角形ABC中，4个黑色部分面积相等。求证：另外3个四边形面积也相等。如果每个三角形的面积等于1，求每个四边形的面积。

哎呀，平面几何忘光啦，要证明四边形面积相等，只要证明三角形ABE,BCF,CAD面积相等即可，感觉应该以中间GHI这个三角形为突破口，设内角为@,利用边长×边长×sin(夹角）=面积的公式（对吗？忘了，呵呵），求面积当然也可以用这个办法，用大三角形减去2就是四边形面积。

[这个贴子最后由tycolion在 2002/04/18 06:17am 编辑]

挺有趣的一道题。关键是要想到两点。（// 表示平行）
（1）由四个小三角形面积相等可知：DH//AI, IE//GB, GF//HC  
（2）AI 过 GF 和 HC 的中点；BG 过 DH 和 AI 的中点；CH 过 IE 和 GB 的中点。
这两点是极易证明的。
好了，问题基本出来了。
由 （2），BG 平分四边形 BHGC, 并设其面积为 2x；CH平分四边形 CEHF, 并设其面积为2y；AI 平分四边形 AGIF, 并设其面积为 2z 。再设四个等面积的三角形面积为 S 。
再由 （1），HG/GA=HD/IA=BD/BA  进而得到面积比：
HG/GA =S/z= BD/BA =x/(S+x)=(2x+2y+2S)/(2x+2y+2z+4S)
由  a/b=c/d=(a-c)/(b-d)= (a+c)/(b+d) 可得到：
x/(S+x)=y/(S+y),可得 x=y 。
同理 y=z, z=x.  所以 x=y=z 。
即三个四边形面积相等。
设 S=1,  由  S/z =x/(S+x)，z=x 有 1/x=x/(1+x)
得到每个四边形面积: 2x=1+5^0.5
哈，好久没有做平几题那种畅快的感觉了。

对啦！

to  tycolion ：“极易证明”就不写步骤了？……我看不懂了哎，帮帮忙写上吧……

嘿,我其实是偷懒.给我纸笔画图1分钟就搞定.
简单说一下吧
（1）由四个小三角形面积相等可知：DH//AI, IE//GB, GF//HC
三角形 ADI 面积等于三角形 AHI 面积, 因为同底(AI), 所以等高,所以平行.
（2）AI 过 GF 和 HC 的中点；BG 过 DH 和 AI 的中点；CH 过 IE 和 GB 的中点。
其实有个定理.三角形ABC,D,E,F三点分别在不同边上,若AD,BE,CF 三线交于一点,择有:
(AF/BF)*(BD/CD)*(CE/AE)=1,反之亦然.这个证明很简单.设AD,BE,CF 三线交于一点G, 以 G 为顶点有6个小三角形,变线段比为小三角形的面积比,再将面积用两边之积乘以sin(夹角)的一半来表示,当你将 (AF/BF)*(BD/CD)*(CE/AE) 用这种方法表示出后,分子分母全部相消得到 1.(利用对顶角相等) 再用此定理即可得到(2)
其实我想到此点居然花了约半个小时,已经忘得差不多了.想当年,老夫.....嘿嘿.

才花了约半个小时嘛，俺都看了一上午……5555，我要去自杀，谁也别拦着我，谁拦我我跟谁急……

别,别,我是说我以前知道这个定理,而且很熟,所以本不应该花这么长时间,天使兄乃武林泰斗,自不屑于这种雕虫小技.兄弟对你佩服得紧呢.