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[求助]平几一题

[求助]平几一题

设AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,以BC为直径的圆与AD交于G,过G的直径的另一端点为K,若EK,FK,BC的交点为M,N,证明BN=CM
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提示:四边形GMNK为平行四边形.
几时平移不动点, 何日旋转二重圆; 变出对称与位似, 换来配极和反演.

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我也想到要证四边形GMNK为平行四边形,但没证出来。

[此贴子已经被作者于2006-3-7 10:42:54编辑过]


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注意D、E、G、M四点共圆,D、G、F、N四点共圆.
几时平移不动点, 何日旋转二重圆; 变出对称与位似, 换来配极和反演.

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注意角KFG是直角,就很容易看出四点共圆了。

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为什么证得D、E、G、M四点共圆,D、G、F、N四点共圆,请可以说四边形GMNK为平行四边形了呢?

[此贴子已经被作者于2006-4-5 18:06:40编辑过]


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证明

因LK为直径,所以LE⊥EK,而AD⊥BC,所以M、D、E、K四点共圆,又A、B、D、E四点共圆,所以 ∠EMK=∠EDK=∠EDA=∠EBA=∠EBF=∠ELF,因此,KM∥FL,同理,KN∥EL,所以,KNLM为一个平行四边形,于是KL平分MN,但KL也平分BC,故BN=MC.
几时平移不动点, 何日旋转二重圆; 变出对称与位似, 换来配极和反演.

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