引用:

以下是引用[I]txs132[/I]在2006-3-15 12:25:28的发言：[BR]这个图刚好折成一个平面，不是四面体，犯了和我的例子一样的错误。

我的确是错了。

引用:

以下是引用[I]gauss[/I]在2006-3-8 22:50:31的发言：
证明或反驳

是正确的，证明如下。 假设空间四边形ABCD中，AB=a，AD=b，AC=c，CD=p，BC=q，BD=r。 如果a≠p或b≠q，不妨假设a≠p，那么由余弦定理得到两个方程 (a^2+q^2-c^2)/(2aq)=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)，(a^2+b^2-r^2)/(2ab)=(p^2+q^2-r^2)/(2pq)， 从上面两个方程可以得到 (aq-bp)c^2=-(ap-bq)(ab-pq)，(ab-pq)r^2=-(ap-bq)(aq-bp)， 如果ab=pq，则必然b≠q，并且p=ab/q。而由上面的表达式中可以得到此时必须aq=bp或ap=bq。如果aq=bp，则把p=ab/q代入，得到b=q，与b≠q矛盾。如果ap=bq，则把p=ab/q代入，得到a=q，从ab=pq就得到b=p，再从(a^2+q^2-c^2)/(2aq)=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)就得到a=b，于是就得到a=b=p=q，这也与b≠q矛盾。因此ab=pq是不可能的。 同理可证明aq=bp也是不可能的。 如果aq≠bp并且ab≠pq，那么就得到c^2=-(ap-bq)(ab-pq)/(aq-bp)，r^2=-(ap-bq)(aq-bp)/(ab-pq)，代入由六棱确定的四面体的体积公式里得到体积为0，也就是说这是一个平面四边形，与假设ABCD为空间四边形矛盾，结论得证。 附：六棱确定的四面体的体积公式，如果四面体ABCD中AB=a，AD=b，AC=c，CD=p，BC=q，BD=r，令 P1=(ap)^2(-a^2+b^2+c^2-p^2+q^2+r^2)， P2=(bq)^2(a^2-b^2+c^2+p^2-q^2+r^2)， P3=(cr)^2(a^2+b^2-c^2+p^2+q^2-r^2)， （容易看出a和p，b和q，c和r是对棱） Q=(abr)^2+(acq)^2+(bcp)^2+(pqr)^2， （容易看出a、b、r共面，a、c、q共面，b、c、p共面，p、q、r共面） 则四面体ABCD的体积 V=sqrt(P1+P2+P3-Q)/12。 这个体积公式是比较容易记忆的。

[此贴子已经被作者于2006-3-15 19:26:37编辑过]

恩，按上面的前提条件，我给一个简单的证明。
把c看成变量，x=(a^2+q^2-c^2)/(2aq)和y=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)为函数，
则z=(a^2+q^2-c^2)/(2aq)-(b^2+p^2-c^2)/(2bq）在c大于0时，是单调函数。
又因为当c=0时，函数z=0，所以，在c大于0时，x≠y。

前面两位真厉害，我眼花缭乱……
不过我似乎想到了一个直观的证明……

引用:

以下是引用[I]dulizuoye[/I]在2006-3-19 0:24:09的发言：
恩，按上面的前提条件，我给一个简单的证明。 把c看成变量，x=(a^2+q^2-c^2)/(2aq)和y=(b^2+p^2-c^2)/(2bq)为函数， 则z=(a^2+q^2-c^2)/(2aq)-(b^2+p^2-c^2)/(2bq）在c大于0时，是单调函数。 又因为当c=0时，函数z=0，所以，在c大于0时，x≠y。

这个证明不正确，例如在a≠p，b=q的时候，即使c=0，z也不一定会为0。 Gauss能把证明发上来看看吗？

[此贴子已经被作者于2006-3-21 11:54:48编辑过]

在a≠p，b=q的时候，就不会出现c=0的情况。上面写的急，不清楚，我叙述一遍概念。假设一对角相等，另一对角的cos值为x、y，当c最小值时，z=0，自己证明，没有争议吧。又因为c大于0时z值单调，所以x≠y。说的清楚吗？

我是这样证的： 沿对角线CD对折时，在0到180°区间（两个三角形所在平面的夹角），∠ACB和∠ADB都是单调减函数（证明略），如果存在一点使∠ACB＝∠ADB＝θ，则根据余弦定理有： a^2+b^2-2abCosθ=c^2+d^2-2cdCosθ 所以，Cosθ=(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2ab-2cd) (1) 我们来看看上式成立的条件，显然，当ab≠cd时，方程至多有唯一解，如ab＝cd且a^2+b^2＝c^2+d^2，则方程为恒等式，有无穷多解。如ab＝cd且a^2+b^2≠c^2+d^2，方程无解。 现在，我们假设∠A＝∠B，那么当对折到180°时，容易证明A,B,C,D四点共圆，立即可知∠ACB＝∠ADB。因此这是(1)式的一个解。如果ab≠cd，如前所述，不会再有其它角度满足 (1)式了。 如果ab=cd且a^2+b^2＝c^2+d^2，从这两个等式和∠A＝∠B（对它们同样运用余弦定理）可解得a＝c，b＝d（请各位自行验证），这样两组对边就是相等的，摊平后是平行四边形。

引用:

以下是引用[I]dulizuoye[/I]在2006-3-21 23:40:46的发言：
在a≠p，b=q的时候，就不会出现c=0的情况。上面写的急，不清楚，我叙述一遍概念。假设一对角相等，另一对角的cos值为x、y，当c最小值时，z=0，自己证明，没有争议吧。又因为c大于0时z值单调，所以x≠y。说的清楚吗？

Ygf5USuq.gif (7.81 KB)
若空间四边形两组对角相等,则两组对边相等

2006-3-22 09:23

上图有笔误，a、p、c的地方都应为a、q、c

[此贴子已经被作者于2006-3-22 9:28:05编辑过]

引用:

以下是引用[I]txs132[/I]在2006-3-22 0:02:47的发言：[BR]我是这样证的： 沿对角线CD对折时，在0到180°区间（两个三角形所在平面的夹角），∠ACB和∠ADB都是单调减函数（证明略），如果存在一点使∠ACB＝∠ADB＝θ，则根据余弦定理有： a^2+b^2-2abCosθ=c^2+d^2-2cdCosθ 所以，Cosθ=(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2ab-2cd) (1) 我们来看看上式成立的条件，显然，当ab≠cd时，方程至多有唯一解，如ab＝cd且a^2+b^2＝c^2+d^2，则方程为恒等式，有无穷多解。如ab＝cd且a^2+b^2≠c^2+d^2，方程无解。 现在，我们假设∠A＝∠B，那么当对折到180°时，容易证明A,B,C,D四点共圆，立即可知∠ACB＝∠ADB。因此这是(1)式的一个解。如果ab≠cd，如前所述，不会再有其它角度满足 (1)式了。 如果ab=cd且a^2+b^2＝c^2+d^2，从这两个等式和∠A＝∠B（对它们同样运用余弦定理）可解得a＝c，b＝d（请各位自行验证），这样两组对边就是相等的，摊平后是平行四边形。

你还没有说明为什么不能在空间四边形出现ab≠cd的情况呢。

我什么时候说了不能在空间四边形出现ab≠cd的情况？