f(x)是三次无重根的实系数多项式，F(x)=2f ''(x)f(x)-[f '(x)]^2,求证：F(x)恰有两个实根。
其中f '(x)是求导的意思，希望大家给点想法。谢谢。

[此贴子已经被作者于2006-4-4 15:39:22编辑过]

显然不对.
F'(x)=2f'''(x)f(x)
所以f(x)=0 => F'(x)=0
比如取f(x)有n个不同的实根,那么F'(x)至少也有n个不同的实根,所以F(x)至少有n-1个不同的实根.

上面证错了.
不过结论还是错误的.
取f(x)=x^2+ax+b,无重根说明a^2-4b<>0
得到F(x)=-2x^2-2ax+2b,有两个实根要求a^2+4b>=0,取a=0,b=-1就不满足条件了.

[此贴子已经被作者于2006-3-23 8:33:08编辑过]

无重根应该是a^2-4b!=0吧？书上的习题，应该不会错吧？

页面上显示<>总是有问题,要用&lt 以及&gt来代替才行,已改过.
尽信书不如无书书上的错误多了

多谢！

恩，却是错了，f(x)应是三次无重根实系数多项式。

这个也不难. F'(x)=2f'''(x)f(x),这时,f'''(x)是常数(6a) 所以 F'(x)=c*f(x) (容易看出c>0) 假设r是f的一个实根,那么我们知道F(r)=-f'(r)^2<0 (f'(r)<>0, 不然r是重根) 所以F是一个4次函数,而且对于任意实数x,F'(x)=0,必然有F(x)<0;也就是说F的所有极值点去负值 而F(-Infinity)=F(+Infinity)=+Infinity 所以F正好有两个实根,一个比f的所有实根小,一个比f的所有实根大.