一个警察在街上闲逛，突然看见有一个小偷在偷东西.这时候小偷也发现了警察，于
是就开始逃跑.问题就出来了，警察能撵上小偷吗?
为了更加清楚地表述问题，我在直角坐标系考虑.
假设警察A开始的问题位置是原点,小偷B的位置是(1,1),小偷沿着直线x+y=2往上跑.
警察的速度V_a=4,小偷的速度V_b=3.
两个问题
1.警察能否抓住小偷?
2.如果能抓住，最短时间是多少?

显然，这个小偷的数学不好 - 沿着x+y=2直线往上跑，哈哈；
根据时间相等，及余弦定理，可以算出具体时间及相遇的点，应该在第二象限；
如果小偷的路线可以随时改变的话，那么警察肯定也可以在根2的时间内抓住小偷。

我的学生已经得到：无论小偷怎样改变方向，只要警察也随之立即改变方向，径直超该时刻该方向的相遇点跑，那么捉住小偷的时间和路线都是一样长的。
　　
　　我现在稍微增大点难度,看看是否有点研究的价值
　　
　　修订版
　　
　　一个警察在街上闲逛，突然看见有一个小偷在偷东西.这时候小偷也发现了警察，于是就开始逃跑.问题就出来了，警察能撵上小偷吗?
　　为了更加清楚地表述问题，我在直角坐标系考虑.
　　
　　假设警察A开始的问题位置是原点,小偷B的位置是(1,1),小偷沿着直线x+y=2跑.
　　警察的最大速率V_a=4,小偷最大速率V_b=3.
　　问题1：求警察保证抓住小偷的最短时间.
　　问题2：如果改变小偷的路线限制，比如变成一个抛物线或正弦线,再考虑同样的问题.
　　

尽管修订版问题1少了一个“上”，貌似答案一样→（根2/根7）；
如果改变小偷的路线限制，比如变成一个抛物线或正弦线；也许答案可能在根2时间内，需要具体路线函数而定；
最不理想的情况就是分速度为4-3＝1，擒获小偷的时间为（根2/1）→所谓捉住小偷的时间和路线都是一样长的。

我想可以考虑这样一个问题，或许也会有趣。
设警察和小偷在平面内运动，初始时均静止，且相距为1，如果警察和小偷的最大加速度分别为2和1，警察和小偷都依据相对的位置和速度，遵循最佳策略来调整各自加速度的大小和方向。那么，
1、警察可以追上小偷吗？
2、最短的时间是什么？

引用:

以下是引用[I]zgglobeish[/I]在2006-4-4 16:26:49的发言：[BR]我想可以考虑这样一个问题，或许也会有趣。
设警察和小偷在平面内运动，初始时均静止，且相距为1，如果警察和小偷的最大加速度分别为2和1，警察和小偷都依据相对的位置和速度，遵循最佳策略来调整各自加速度的大小和方向。那么，
1、警察可以追上小偷吗？
2、最短的时间是什么？

恩，原来的问题已经没什么意思了.
我们考虑这个问题吧.
你现在的结论是什么?

感觉警察肯定可以抓住小偷，轨迹差就是初始时警察面向小偷的那个向量。
警察始终可以分解为小偷的分加速度和沿着向量的分加速度；
遵循最佳策略，小偷应该使警察沿着向量的分加速度△A最小，即2-1＝1，
所以最短时间是△AT*T/2＝△S→T＝根2″。

引用:

以下是引用[I]wxr021[/I]在2006-4-5 22:38:45的发言：[BR]感觉警察肯定可以抓住小偷，轨迹差就是初始时警察面向小偷的那个向量。
警察始终可以分解为小偷的分加速度和沿着向量的分加速度；
遵循最佳策略，小偷应该使警察沿着向量的分加速度△A最小，即2-1＝1，
所以最短时间是△AT*T/2＝△S→T＝根2″。

为什么没有考虑加速度的限制?

一个更真实的模型
一个警察在街上闲逛，突然看见有一个小偷在偷东西.这时候小偷也发现了警察，于
是就开始逃跑.问题就出来了，警察能撵上小偷吗?如果能撵上的话，最短时间是多少?
几个基本假设
1.警察的最大速度为V,小偷的最大速度为v,V>v.
2.警察的最大加速度为A,小偷的最大加速度为a,A>a
3.警察和小偷都足够聪明.
请大家思考这样一个问题：V,v,A,a四者之间满足什么样的制约关系，警察才能肯定捉住小偷？是否有可能存在这种情况：V>v，但A和a之间的关系导致只要小偷躲避得当，警察永远也捉不住小偷？

这里捉住的意思是警察和小偷两个几何点精确的相遇。如果放宽捉住的条件，警察于小偷半径为r之内的时候，就会捉住小偷，那么问题的答案和r之间有什么关系？就好像猎豹追羚羊，不比精确地于羚羊的位置重合，只要够近，就可以伸出爪子捉住羚羊。

哈！ 模型越来越充实咯。
不过，感觉警察的加速度始终可以分解成小偷的加速度和初始向量的加速度；
能否给出个警察永远抓不到小偷的例子，发散一下我的思路？

[此贴子已经被作者于2006-4-8 22:43:16编辑过]