对正实数a,定义数列{b(n)}如右:b(1)=a,b(n+1)=a^(b(n)),n是任意自然数,那么当a满足什么条件时,{b(n)}有极限?

显然只要考虑0<a<=1的情况,而a=1显然有极限,所以下面我们之看0<a<1的情况 这种情况下面,我们容易证明b(1),b(3),b(5),...是一个单调增数列,b(2),b(4),b(6),...是单调减数列 所以两个数列都有极限(他们显然有界),假设极限分别为B1,B2 那么a^(a^B1)=B1,a^(a^B2)=B2. 这里就有一个问题了,方程a^(a^x)=x在0[此贴子已经被作者于2006-4-10 9:32:33编辑过]

请继续
透露一点：最后的结果很简洁.
[em07]

看来我比较笨……应当是有一个点，在(0,1)上a大于这个点就有极限，a小于这个点就没极限，这个点貌似在0.066左右

[此贴子已经被作者于2006-4-15 7:18:13编辑过]

你验算过？这个数挺象exp(-e)的

取对数，得到 log b(1)= log a, log b(n+1)= b(n) log a, 这是一个等比数列。于是通项公式：log b(n)= (log a)^n. b(n)收敛有两种情况：第一，收敛于非零常数(>0)，那么 log b(n) 收敛，此时有 -1< log a <= 1，即 1/e< a <= e。 第二，b(n)收敛于0，那么 log b(n)趋近于负无穷，但是右边子数列 (log a)^{2n} 显然不收敛于0，矛盾。

[此贴子已经被作者于2006-4-17 8:23:43编辑过]

完蛋了，求对数都能求错，不做了。。。GAUSS，我是citizen！。。密码忘了>_<，帮我找回来好吧？

这样：取对数，a^x=log_a(x)有唯一解x,由于左右互为反函数，交点在y=x上
于是y=a^x,y=log_a(x)在交点处的导数相等，解出来正好是exp(-e)[em01][em01]

f(x)=a^x -log_a(x)
设x0使得a^x0=x0,所以x0=log_a(x0)=log(x0)/log(a) (注意方程a^x=x在(0,1)上解唯一)
f'(x0)=a^x0*log(a)-1/(x0*log(a))
      =x0*log(a)-1/(x0*log(a))=log(x0)-1/log(x0)
所以当x0=exp(-1),f'(x0)=0,当x0&lt;exp(-1),f'(x0)&lt;0,当x0&gt;exp(-1),f'(x0)&gt;0
f(a)=a^a-1&lt;0,f(1)=a&gt;0,容易证明a&lt;x0&lt;1
所以当x0&lt;exp(-1)时,
f(a)&lt;0,f'(x0)&lt;0,f(1)&gt;0,也就是f(x)=0至少在(a,1)中间有三个解.
所以我们证明当x0&lt;exp(-1)时,a^x=log_a(x)在(a,1)上至少有三个解.
而a^x0=x0,设x0=exp(-u),a=exp(-v)
得到exp(-v*exp(-u))=exp(-u),即v=uexp(u),所以在x0&lt;exp(-1)时v&gt;e,即a&lt;exp(-e).
也就是证明了a&lt;exp(-e)时,方程a^x=log_a(x)在(a,1)上至少三个解.
不过这个结论并不足以证明正好是a&gt;=exp(-e)时{b(n)}正好有极限,但是可以看出正好是这里的可能性很大了.我们还需要证明:
(i) 当a&gt;=exp(-e)时,方程a^x=log_a(x)在(a,1)上解唯一.
(ii)对于a^x=log_a(x)在(a,1)上的最小解x1,对于任何x满足a&lt;x&lt;x1,必然有a&lt;a^a^x&lt;x1

不动点满足 b=a^b,即ln(a)=ln(b)/b ，要求收敛，至少要求初值在不动点附近时数列的下一个值应该更加靠近不动点，精确点说就是要求|db_{n+1}/db_n|_{b_{n}=b}=|ln(a)a^b|=|ln(b)|&lt;1，即1/e&lt;b&lt;e，因此 (1/e)^e &lt; a&lt; e^(1/e)。这是必要条件，充分条件要配合初始条件才能求得出来。
如果0&lt;a&lt;(1/e)^e，上面的那个不动点变得不稳定，但是出现了一对稳定的二周期不动点b1、b2，即b2=a^b1，b1=a^b2。

[此贴子已经被作者于2006-5-4 8:08:40编辑过]