从有限个去推断无限个是无聊的做法
比如几何分布中无限的事件中，概率1/100发生特殊事件，那么第一次发生特殊事件的数学期望为1/p即第100次，加入转化为有限那么照楼主所谓推断
总共100次，发生1次，数学期望为50
总共1000次，发生1次，数学期望是500
依次类推……那么几何分布中的数学期望为1/2p
如此看来百年1遇的洪水50年就会来，人类的灾难多1倍啊，楼主你怎么承担的起啊
愚人节拿来搞笑的玩意，过了节再发就不搞笑拉

[此贴子已经被作者于2006-4-15 15:41:18编辑过]

[此贴子已经被作者于2006-4-15 15:41:39编辑过]

这个题目没有什么意思。问题在于这个概率本身并不存在。 比如记所有<=N的数中任意取一个数，首位为m的概率是p(N,m), 那么只有在Limit p(N,m) (当N->Infinity)存在时我们才能够说这个概率存在，也就是这个极限。而当这个极限不存在时，如果我们要采取通过一种使用数列各项的平均来代替极限，那么我们可以取到上极限和下极限之间的任意一个数字。 这里的Log(2)没有任何意义。

楼主张冠李戴了!
应该是:{2^1,2^2,2^3,...,2^n,......}中任取一数,其首位数码为1的概率为lg2.

自然数集合中首位数为1的自然数是子集。子集是合集的“部分”，这两个都是无穷大，在无穷大的世界里，它们是一样大的，即可以是部分等于全部。缘于首位数是1的自然数集合与整个自然数集合是一样大的无穷大，比率（成分）是1/9的说法确是有问题的。
自然数有无穷多，要想知道首位是1的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。
这个平均比率就是对数量不确定的自然数中取得首位是1的数的概率。（不知这样说法对不对。）
这样随机的取数太庞杂了，作一个简化：将顺序递增排列的自然数，从1开始逐个取数，对每一组数求首位1所占比率，再求各种比率的平均值。（这样的简化是否有违“随机取数”？）具体来说，下面是头20个数和头10000个数的情况。图中lg2水平线是否就是波动到后面时的平均值？不知如何证明。

只算到1万，就看出点趋势，看到首1的概率平均是在0.3附近震荡。再看看首9的概率，结果平均是在0.045附近震荡，比首位1的0.3小很多。不知道用“高等数学”方法算出来的是多少。
这种不同于想当然（“各为1/9”）的结果，是不是有什么深层的原因？



ｌｇ(m+1) -ｌｇ(m) 的预言可能性极大也!!!!!

如果一定要算平均值，我可以给出一个比较合理的结果。
首位为1的概率算术平均为

10/9*ln(5)+(1-8/9*ln(2))*1            10/9*ln(5)+1-8/9*ln(2)
-------------------------------- =  ---------------------------
        9                                                              9
ln是自然对数

记ONE(n)为不超过n的数中首位为1的数的个数 那么 ONE(10^k-1)=(10^(k-1)+10^(k-2)+...+1) 我们现在对 10^k<=x<10^(k+1)之间的所有数求出ONE 对于10^k<=x<10^(2k) ONE(x)=x-10^k+1+ONE(10^k-1) 对于10^(2k)<=x<10^(k+1) ONE(x)=ONE(10^(2k－1))=10^k+ONE(10^k-1) 对所有的ONE(x)/x求平均值，令t=x/10^k 得到平均值为 t-1+10^(-k)+1/9-10^(-k)/9 －－－－－－－－－－－－－ (for t=1 to 2) t + 1+1/9-10^(-k)/9 ------------------- (for t=2 to 10) t 在除以9 对于充分大的k,所有包含10^(-k)的项可以去掉，求和变成积分 第一项为 1－8/(9t)在[1,2)上的积分，为1-8/9*ln(2) 第二项为 10/(9t)在[2,10)上的积分，为10/9*(ln(10)-ln(2))=10/9*ln(5) 所以最终结果为上面的表达式。

如DUZ所说，所有自然数取首数的概率并不存在，原因是limit（1－>无穷大）区间上首数的取具体某数的概率不收敛
对应于楼主给的图来说就是波动周期变长（而并非图中所示的每个周期数轴上等宽）。后一个周期永远是前一个周期的10倍，造成我们求平均值时永远受取值右端点变化而变化（对于充分大的k,所有包含10^(-k)的项可以去掉---DUZ,不过个人觉得不能也简单去掉吧～），极限并不趋向任一值，无法得出有效概率。