设L是三角形ABC的内心，延长AL,BL,CL分别于三角形ABC的外接圆交于点A1,B1,C1。求证：A1L+B1L+C1L大于等于AL+BL+CL   

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[求助]一道关于内心的几何不等式问题

2006-8-3 13:16

我的想法是：设三角形三边为a,b,c，则AA1/A1L=(AB+AC)/BC=(b+c)/a,A1L=aAL/(c+b-a)
同理，B1L=bBL/(a+c-b),C1L=cCL/(a+b-c),问题变为求证不等式：
aAL/(c+b-a)+bBL/(a+c-b)+cCL/(a+b-c)>=AL+BL+CL
但这个不等式怎么证，我试了用内切圆变换及柯西不等式，好象都不行。

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Ｏ、Ｇ为△ＡＢＣ的外心和垂心，点Ｍ满足　90度<∠ＯＭＧ<180度 ＡＭ、ＢＭ、ＣＭ交外接圆于Ａ1、Ｂ1、Ｃ1 即有：　ＡＭ+ＢＭ+ＣＭ　≤　Ａ１Ｍ+Ｂ1Ｍ+Ｃ１Ｍ 好像是利用莱布尼兹公式证明的。