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一道很容易错的题

一道很容易错的题

平面内有一个大圆和一个小圆,大圆半径是小圆半径的n倍,大圆固定在平面内,小圆保持与大圆内切,并沿着大圆的圆周从A点出发滚动一周回到A点,求小圆滚动的周数。
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哪位高手能解释得很清楚呢?
思维,思?维?

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我是这么想的:跟圆心有关,假设给圆心定个箭头,就像抽奖时的一个圆盘一样.如果是在平地上滚,确实和圆上任意一点运动情况一致,因为切着一条直线转的.而此题目,如果你说是n圈,想必是从小圆与大圆所切的点的运动轨迹出发来考虑,但我可以提出一个问题:小圆在大圆里滚动那么请看如图所示的"内大圆"与小圆也切着,那么按这个点来计算的话,不是运动了(n-2)圈了??
所以说,我们不该从圆上的点出发去想.圈圈转了一圈,本质上是圆心转了一圈.所以,其实是圆心切着半径为(n-1)运动.那就好说明了.
思维,思?维?

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第一种想法:(感觉有点像物理中的相对运动)
当小圆不是滚动,而是在大圆中滑动一周后,我们可以发现,虽然小圆一周都没有转,但它上面的每一个点都已和大圆上的点接触过了一次,即小圆相对于大圆转了一圈。
现在小圆在大圆中滚动一周,我们可以算出,它圆周上的点和大圆圆周上的点接触了n次(即小圆相对于大圆转了n圈),但这并不是小圆实际所转的圈数,小圆所转的圈数必须还要减去它滑动时与大圆接触的点即为n-1圈。

第二种想法:(建议画张图,有助于理解)
令大圆圆心为O点,小圆圆心为P点,由于小圆上的点与大圆上的点要接触n次小圆才能在大圆内滚动一周,所以相邻两次A点之间的圆弧所对的大圆圆心角就是2π/n弧度(即1/n圈),现任取两相邻A点令之为A1、A2,那么∠A1OA2的优角(自创的叫法,就像优弧那样)所表示的圈数即为小圆所转过的圈数,为(n-1)/n圈,由于整个过程要有n次接触,所以小圆所转圈数为n-1圈。

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N-1圈

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呵呵,这个需要先明确一下 什么是一圈

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当前时区 GMT+8, 现在时间是 2008-12-5 19:21

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