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费马素数与简循环数列

2006-12-18 22:25

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费马素数与简循环数列

2006-12-18 22:25

你的初等代数式的定义是什么那？

 计算出任何循环数列的通向公式是很简单的事情。

对于周期是K的数列,对应的递推公式就是a(n+K)=a(n),所以特征多项式是x^K=1.

所以w=exp(i*2*Pi/K)是这个方程单位根。

而数列的通解就是

a(n)=x0+x1*w^n+x2*w^(2n)+...+x(K-1)*w^((K-1)*n)

其中x0,x1,...,x(K-1)为待定系数，通过a(0),a(1),...,a(K-1)的值来确定，解一个K阶线性方程组就可以了，对应方程行列式是范德蒙行列式。

当然求出来的通项公式中包含复数，但是这个不是问题，所有的复数项都是共扼出现的，只要将各共扼项展开，相加，就可以将所有的虚部消去。
比如x1和x(K-1)必然共扼，设
x1=a1+b1*i
那么x(K-1)=a1-b1*i,
w=cos(2*Pi/K)+sin(2*Pi/K)*i
w^(K-1)=cos(2*Pi/K)-sin(2*Pi/K)*i
x1*w^n+x(K-1)*w^((K-1)*n)
=2*a1*cos(2*n*Pi/K)-2*b1*sin(2*n*Pi/K)

高!duz毕竟是duz,没想到复数的用途有这幺广!

请教:

如果规定不得使用复数的话,”简循环数列”的k只有与费马素数相关的”64”种吗?

我的最后一部分说明已经给出了如何产生不使用复数的表达式。只要给定的数列中的数全部是实数，最终表达式就可以化简为实数表达式的。

 结果同费马素数没有关系。

好!

如循环数列:1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,…

得:

n-2(n-1)+(n-1)(n-2)/2-(n-1)(n-2)(n-3)/6

这里:n=1,2,3,4时成立

当n=5,6,7,8时,如何将n相应转化为1,2,3,4 ?

望不吝赐教.

QUOTE:

以下是引用qqqqwqqw在2007-1-9 15:25:35的发言：

好!

如循环数列:1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,…

得:

n-2(n-1)+(n-1)(n-2)/2-(n-1)(n-2)(n-3)/6

这里:n=1,2,3,4时成立

当n=5,6,7,8时,如何将n相应转化为1,2,3,4 ?
   

望不吝赐教.

duz已经说的很清楚了

(1+(-1)^(n+1)+2cos((n-1)pi/2))/4