摘要：费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者 痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a^n+b^n=c^n是不可能的（这里n大于2；a，b，c， n都是非零正整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当 时不可能有正确的证明.安德鲁·怀尔斯用现代数学知识,三百多页纸将其证明。费尔马大定理是一个特殊的一元n次方程。在一元n次 方程中，我们知道也能证明它有n个根。因此得到一个“根与系数唯一性定理”，从而揭开了费尔马大定理的原解，即费尔马先生自己的 解。
关键词：一元n次方程 根与系数唯一性 费尔马大定理
Ⅰ.首先我们要了解一元n次方程有多少个根。一元一次、二次、三次，我们知道它相应有1个、2个、3个根，因此，我们联想一元n 次方程有n个根。
用完全归纳法很快可证：
n=1时，有一个根。完全可以假设n=k时，有k个根。
当n=k+1时，有如下方程：
y^(k+1)+Ay^k+By^(k-1)+……+Ny+M=0 ; ①
变形为：y^k+Ay^(k-1)+By^(k-2)+……+N+M/y=0 ②
得：②式是一个一元K次方程，则y有y1、y2、……yk共k个根。
所以①式y有y1、y2、……yk、y(k+1)个根。
Ⅱ.由此得到一个根与系数唯一性定理：
在一个一元k次方程中，k个根一确定，首项系数是唯一的。
用数学表达：在一元k次方程：
x^k+Ax^(k-1)+Bx^(k-2)+……+Nx+M=0 ; ③
y^k+a^(yk-1)+by^(k-2)+……+ny+m=0 ; ④
③式中x的各个根为：x1、x2、x3、……xk
④式中y的各个根为：y1、y2、y3、……yk
如果：x1=y1,x2=y2,……xk=yk
则有：A=a，
证：当n=1时：x+M=0,y+m=0
如果x=y,则M=m,正确
当n=2时：x^2+Ax+M=0 ⑤
y^2+ay+m=0 ⑥
⑤式中x有2个根x1，x2，解得：A=-(x1+x2)
同理⑥式也能解得： a=-(y1+y2)
又x1=y1 x2=y2 故A=a
假设n=k时也成立。即：
X^k+Ax^(k-1)+……+Nx+M=0 ⑦
y^k+ay^(k-1)+……+ny+m=0 ⑧
当 x1=y1，x2=y2，……xk=yk
有A=a
当n=k+1时。在方程：
X^(k+1)+Ax^k+……+Nx+M=0 ⑨
Y^(k+1)+ay^k+……+ny+m=0 ⑩
将 ⑨式⑩式变形为：
X^k+Ax^(k-1)+……+N+M/x=0
Y^k+ay^(k-1)+……+n+m/y=0
上两个式子是n=k的形式。
当 x1=y1，x2=y2，……xk=yk
有A=a得⑨式⑩式中有A=a
[其实A=a，……N=n，M=m。 且：M=m=(-1)^k*x1x2x3……xk，这里不证了]
Ⅲ.费尔马大定理：在x^k+y^k=z^k ⑾
z＞x≥y＞0，且x、y、z均为整数，k为自然数。
则k=1,或k=2两种情况才能满足⑾式。
证：在⑾式中，可以规定x、y、z三个数没有大于1的公因子
即（x、y、z）=1 如果有，它们可以约掉。
则x、y、z两两互质，即（x、y）=(z、x)=（z、y）=1
假设x、y有大于1的公因子，可令：
x=ab y=ac 代入⑾式
b^k+c^k=(z/a)^k ⑿
由于（x、y、z）=1，则上式有矛盾：即⑿式是整数=分数。
所以（x、y）=1，同理可证（z、x）=1，（z、y）=1
这样得到：x、y、z两两互质，且我可令x、y、z是满足⑾式最小的一组解。
由⑾式变形得2个方程：
Z^(k-1)+z^(k-2)x+……+x^(k-1)-y^k/(z-x)=0 ⒀
z^(k-1)+z^(k-2)y+……+y^(k-1)-x^k/(z-y)=0 ⒁
在⑾式中可确定z且z的各个根为：z1、z2、……zk
由于z被确定，则⒀式⒁式中z的各个根是z1、z2、……z(k-1)
在⒀式⒁式中
当k≥3时，由首项系数唯一性得：
x=y、
由x=y，因为x、y互质，即（x,y）=1
所以 x=y=1
⑾式为z^k=1^k+1^k=2 得z=2，k=1与k≥3矛盾，所以有k=1或k=2。
大定理证毕
