是否存在无理数 x , y 和有理数 z 使以下式子成立：

x ^ y = z

（对于这道题我有一个解，但是感觉我的解题方法不够严谨而且也有不少不恰当之处，所以在此就暂时不现丑了。希望能有像我一样对数学感兴趣但天资稍有不足的人一起讨论，也希望能有高人来指点迷津。我会把我的解题过程在几天之后贴上来，到时还希望高手能帮忙指正错误。）

[此贴子已经被作者于2007-3-27 0:20:18编辑过]

假设a=2^0.5，用反证法可证,a是无理数,如果a^a是有理数,命题成立,如果a^a是无理数,则(a^a)^a=2,命题成立.

a是不是无理数？困惑……

呵呵，谢谢斑竹的回帖，我的解法和楼上斑竹的解法前半部分是一样的，但是在后半部分（‘则(a^a)^a=2,命题成立.’）的后面，我多写了些东东。。。

恩，我再想一下~~~

[此贴子已经被作者于2007-3-27 22:12:50编辑过]

设3^y=2,则，y是无理数sqrt3^2y=2, 其中sqrt3 2y都是无理数

谢谢大家的回帖~~~我后来回去想了想，发现似乎我写的那些后缀可以删了。。。（-_-0)

我一开始并没有注意到 sqrt(2)^(sqrt(2)^sqrt(2)) = 2. 所以我思考以下的式子：

观察：作为底的x上的一大串数目趋于无限的x次幂与原式相等，也就是说原式可以改写成 x^2 = 2. 取正根，得到 x = sqrt(2).

所以我对这道题的解答为：

a = sqrt(2);

首先令 x = a = y, 若式子a^a的结果为有理数，则问题得证；若为无理数，则以其结果为

a 的幂，检查是否 a^(a^a)是有理数，若是,则问题得证，否,则用这种方法循环检查下去。从在‘观察’中得到的

结论可知当幂的数目趋于无限的时候，式子终将得到一个有理数的解，则问题得证。

呃，那个。。。本人比较愚钝，想了很久还是想不通为什麽 sqrt(2)^(sqrt(2)^sqrt(2)) = 2，还希望大家帮忙指点~~~

[em04]

 sqrt(2)^(sqrt(2)^sqrt(2)) ≠2,是 (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) = 2

(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2) =sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) =sqrt(2)^2=2

谢谢斑竹的解释，现在我明白了（哎呀呀。。。比较丢人。。。）[em04]

现在仔细看一看，这道题被我解得似乎有点驴唇不对马嘴的。。。

[em06]

呃，还需努力。

很抱歉贴出了我那麽没水准的解答。。。希望我下次‘灌水’的时候能让大家看到我的少许进步~~~

[此贴子已经被作者于2007-3-31 1:30:49编辑过]