虽然是竞赛题，但是这道题似乎并不算很难，不管怎样，和大家分享一下

证明：

a+b+c <= (a^3)/bc + (b^3)/ac + (c^3)/ab

并给出使左右两边相等的条件。

[此贴子已经被作者于2007-4-14 23:21:22编辑过]

答案：在条件 a, b, c>0下

通分以后，可以等价证明：

a^4+b^4 +c^4 -a^2bc -b^2ac-c^2ab >0

然而此式又可以写成

a^2 (a^2 -bc) +b^2 (b^2 -ac) +c^2 (c^2 -ab) >0

现在，我们用排序不等式。我们不失一般性可以设 a>b>c>0， 易知

a^2 -bc > b^2 -ac >c^2 -ab

所以根据排序不等式，我们有

a^2 (a^2 -bc) +b^2 (b^2 -ac) +c^2 (c^2 -ab) 〉(a^2 +b^2 +c^2 )(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ac) /3 >0

因为 a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ac 〉0

等式成立当且仅当a=b=c

若a+b+c>=0 则 a^3＋b^3＋c^3>=3abc

等号成立条件是 a+b+c=0 或者 a=b=c

那么(a^3)/bc+b+c>=3a

同理(b^3)/ac+a+c>=3b,(c^3)/ab+a+b>=3c

三式相加就得证啊

你的证明更巧妙啊。

[em07]