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[求助]一道高二数学竞赛题--不等式的证明

2007-4-17 17:47

题目不难，这个不等式也不是很好的结果 。

证明：因为 x_i+x_j <1, 所以把分子x_i+x_j 替换成1，我们可以发现

 n sum (x_{i}^2}-sum (x_{i}-x_{j})^2 = (x_{1}+...+x_{n})^2=1

非常感谢ucphd的真诚帮助，尽管你在论坛注册的时间不是很长，但是你的确很出色！再次欢迎你来到智星论坛！

原来如此。。。我也想过把分子x_i+x_j 替换成1，然后将左侧的式子展开，但是愣没发现展开式等于(x_{1}+...+x_{n})^2......郁闷 -_-0

算了，偶已经知道偶没才能了。。。

简单谈谈解这题的过程，希望对大家有所帮助，也希望抛砖引玉：

我们都知道 n (x_{1}^2 + ... + x_{n}^2) >= (x_{1}+... +x_{n})^2 =1

但是现在这个不等是反了过来，当然要从n (x_{1}^2 + ... + x_{n}^2)里面减去那项带有x_{i}+x_{j}的项。这样就提示我们说要想法

证明 1 和n (x_{1}^2 + ... + x_{n}^2) 的差要小于带x_{i}+x_{j}的项。这样我们就要回到基本不等式

n (x_{1}^2 + ... + x_{n}^2) -1  >=0

为什么这个不等式成立呢？ 一个原因就是

n (x_{1}^2 + ... + x_{n}^2) -1 = sum _{i<j} (x_{i}-x_{j})^2 >=0

这样一来就看到了一方面sum _{i<j} (x_{i}-x_{j})^2 >=0，另一方面比较sum _{i<j} (x_{i}-x_{j})^2与带x_{i}+x_{j}的项让我们知道为什么要把

x_{i}+x_{j}和1 比较。