智星锁厂生产一种门锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度为{1，2，3，4，5，6}（单位略）中的任意一个数。当然由于工艺原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。在当前的工艺条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。原来，锁厂在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们就会抱怨购得的锁具会出现互开情形。
问题：1. 批锁具有多少个？按60个一像装多少箱？（4分）

2）提出一种方案，包括如何装箱（仍是60个锁具一箱）；如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。
3）采取你提出的方案，团体顾客购买量不超过多少箱就可以保证一定不会出现互开的情形。(2、3问共16分)

1、6^5-{C(6,1)+C(6,2)-1]*[C(2,1)*C(5,2)+C(2,1)*C(5,1)]}-{(6^3*2+5*6^2*2)*2-[(10+2+2+18)*2+50]}=5880
5880/60＝98

2、3、互开的两把锁奇偶性不同。因此求每把锁5数之和，考虑结果的奇偶性，在每箱内保持奇偶一致并标明。同一团体顾客只售予具有相同奇偶性的箱子。题目所有条件对结果奇偶性的影响是对称的，因此98箱可以平分为各49箱。在此方案下，只要不超过49箱就不会出现互开。

PS：此题目系1994全国大学生数学建模竞赛B题前三问。证明及进一步讨论略去。

[此贴子已经被作者于2007-5-1 22:33:36编辑过]

大话队提交答案及得分

1.将一个数和二个数的减去即可。
r(n)=4r(n-1)+2t(n-1)
t(n)=4r(n-1)+t(n-1)
r(0)=t(0)=1
r(5)=6306
一个数：6种
二个数：先决定是哪二个数C(6,2)-1=14(去掉1－6这种情况),然后考虑如何分。
可以是1－4分，也可是2－3分
即： 2×(C(6,2)-1)(C(5,1)＋C(5,2))=420
一二相加共426种。
6306－426＝5880，装98箱。

2.能互开，则弹子数相差1。故将弹子数为奇数的分为第一组，标号1，偶数分为一组，标为2。出售时一批只卖1号，或者2号。
3.由于分为了两批，一批49箱，故只要一次不超过49箱，就没有抱怨。

全中!20分。

饭桶队提交答案及得分

1. 一批锁具有多少个？按60个一像装多少箱？（4分）
全排列 6^5 =7776
其中小于3个数组成 6+C(6,2)*(2^5)=6+480=486
其中同时含1,6两槽的组合
  a.1,6占两位 不符合条件2的有512
  b.16占三位 不符合条件的有736
  c.16占四位 不符合条件的有256
  (过程较繁,略)
 
7776-486-(512+736+256)=5786
一批有5786个,按60个装96箱多一些,或97箱.

0分

通吃队提交答案及得分

一：
三个以上不同数字5位数组合减去其中1，6相邻的情况：
7320-1424=5896个
装99箱

0分

小泥巴队提交答案及得分

符号说明
hi：表示锁具钥匙第i个槽的高度，i=1,2,3,4,5, hi∈{1,2,3,4,5,6},

问题分析与求解
   由题意，该厂生产的弹子锁具由于其钥匙有5个槽，所以可以用五元数组来刻划一个锁具，引入数组
key=(h1, h2, h3, h4, h5 )
因此，五元数组key应满足下述条件：
 1）．hi∈{1,2,3,4,5,6},   i=1,2,3,4,5
 2）．对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5至少有三个是不同的
 3）．对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5有  │hi□hi□1│□5,  i□2,3,4,5,
1．一批锁具个数的计算
设一批锁具集合为S，显然有
S={key |key=(h1, h2, h3, h4, h5),hi∈{1,2,3,4,5,6}}, i=1,2,3,4,5,且key 为一锁具}
根据乘法原理，有数组(h1, h2, h3, h4, h5),hi∈{1,2,3,4,5,6}的总个数为65个，但要想使key成为一个锁具，还要有如上条件2)、3)的限制，因此可以知道锁具的个数小于65．利用计算机采用枚举方法可采用逐一检验条件1、2、3可求出锁具的总个数和装箱数分别为：5880个和98箱
2、
因为两个锁具可以互开的条件为：两个锁具有四个槽高相同，其余一槽高相差为1，因此其必为两个相邻的自然数, 具有不同的奇偶性,所以为奇数的不可能互开，偶数的也不可能互开，设奇数为A，偶数为B，装箱时A装一起，B装一起，这样就能减少锁具的互开了。

3、采取你提出的方案，团体顾客购买量不超过多少箱就可以保证一定不会出现互开的情形:
49箱之内应该不会出现互开的情况的。

全中，20分

傅乐队提交答案及得分

解答：
 
①     所有的门锁个数为n=65=7776；
②     仅有一个槽高的锁具数目为  n1=
③     仅有二个槽高的锁具数目为  n2= (25-2)=450
④     相邻两个槽的高度之差不能为5，也就是1和6不能在一起，则分类讨论如下：
设相邻两个槽的高度之差为5的锁具的集合为A
A1：   16abc     或     61abc
A2：   a16bc     或     a61bc
A3：   ab16c     或     ab61c
A4：   abc16     或     abc61
其中a,b,c可以取1,2,3,4,5,6这几个自然数中的任一个.显然A= A1＋A2＋A3＋A4
       
设n(A)为集合A中元素的个数，则由集合论的知识得
n(A1)= n(A2)= n(A3)= n(A4)=2×63＝432
 
A1A2类型的门锁槽为161ab或616ab，
则n(A1A2)=2×62=72，同理n(A2A3)=n(A3A4)=72；
 
A1A3类型的为1616a或1661a或6116a或6161a，
则n(A1A3)=24，同理n(A1A4)=24,n(A2A4)=24；
 
A1A2A3类型的门锁槽为1616a或6161a，
则n(A1A2A3)=2×6=12，同理n(A2A3A4)=12；
 
A1A2A4类型的门锁槽为16116或16161或61616或61661，
则n(A1A2A4)=4，同理n(A1A3A4)=4；
 
A1A2A3A4类型的门锁槽为16161或61616，
则n(A1A2A3A4)=2；
 
所以，n3=n(A)=432×4-3×72-24×3+12×2+4×2-2=1470；
 
5个槽中仅有两个高度，且相邻高差为5的锁具个数为n4=25-2=30.
 
最后可以得到一批锁具的个数为n-n1-n2-n3+n4 =5880
 
所以每批锁具有5880把，可以装5880/60＝98箱。
 
 
因为互开的两个门锁有四个槽高度相同,仅有一个槽高度差1，那么可以互开的两个门锁槽的高度为相邻的两个自然数，则可以把所有的门锁分为奇数和偶数两类；
 
对任意一个门锁的槽高度的排列h1h2h3h4h5,我们用7分别减去每个高度，形成另一个与其对偶的排列7-h1)(7-h2)(7-h3)(7-h4)(7-h5)，发现这两个门锁的槽高度的总和是35，必定是一奇数一偶数，而且一一对应，则可以推出所有的门锁中
 槽高度和为奇数的个数=槽高度和为偶数的个数=5880/2＝2940
 
所以我们的策略是每个门锁标记总槽数和，并奇偶分开，那么每次销售不超过2940/60＝49箱的时候，是不会出现互开的情况的。
 
没有证明这种奇偶分类是否是最佳策略，49箱是否是最大数目。

20分。