（0,e）中的全体实数之积为1!

~~~~Geslon先生让我想通了。感谢！

[此贴子已经被作者于2007-9-21 0:07:50编辑过]

我倒觉得(1/e,e)区间内所有实数乘积为1。每个数字都有一一对应的倒数嘛。

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[此贴子已经被作者于2007-7-17 18:42:56编辑过]

可以为任意正数

证明：

将（0，e）分为n等份

n=2,X=e/2

n=3,X=(e/3)*(2e/3)

n=4,X=(e/4)*(2e/4)*(3e/4)

...

lim{(e/n)*(2e/n)*...*[(n-1)*e/n]}当n趋向于无穷大

=lim[(n-1)!e^(n-1)/n^(n-1)]

=1/e*lim(n!e^n/n^n)

这个是不是等于1？坏了，忘记怎么算了~~~

[此贴子已经被作者于2007-7-23 13:08:33编辑过]

要取对数么？

。。。。晕[em55][em62][em60]

不知道楼主哪儿来的突发奇想，也不先想想再说话。
chenwei710 兄弟说的是，任意。

原题目是:

证明0,e)之间所有数字乘积为1.

证明如下:

将（0，e）分为N等份

N=2时,X=e/2

N=3时,X=(e/3)*(2e/3)

N=4时,X=(e/4)*(2e/4)*(3e/4)

...

也就是:

X=(e/N)*(2e/N)*...*[(N-1)*e/N]

我们只要证明当N趋向于无穷大时

limX=1,就可以了.

通过变换,

X=[(N-1)!e^(N-1)/N^(N-1)]

=[N!e^(N-1)/N^N]

对上式两边取对数,

lnX=[lnN+ln(N-1)+...+ln1]+(N-1)-(NlnN)  ....................(1)

其中难点是如何处理[lnN+ln(N-1)+...+ln1].根据积分公式,lnX的原函数是XlnX-X+C.

当N趋于无穷大时,[lnN+ln(N-1)+...+ln1]可用lnX从1到N的定积分代替计算,即:

当N趋于无穷大时[lnN+ln(N-1)+...+ln1]=(NlnN-N)-(1ln1-1)=NlnN-N+1 ................(2)

(2)代入(1),有:

当N趋于无穷大时,lim lnX=(NlnN-N+1)+(N-1)-(NlnN)=0

即:lim X=1

证毕.

GESLON兄误会了原题意了，

我的原帖是错的啊！