总算找到自归数的最大的级9！

因
9801=1089*9
61=1+2+4+5+7+8+10+11+13
9个
有
98017530864129=10890123456789+10890246913578+10890493827156
+10890617283945+10890864197523+10890987654312+10891234567890
+10891358024679+10891604938257
故98017530864129可为9级自归数。

由于自归数及其同字异构数的首位字符均不能为0，故自归数的级最大可以为9。

也是9的倍数。

2级自归数应该可以证明肯定是9的倍数，因为做差之后均可以写成9...(n)...9的形式，至于3级或以上的，还么有好思路去证明

除4、7级自归数外,其它级的均易证明它必是9的倍数.
但4、7级的自归数可以证明它必为3的倍数,
4、7级的自归数是否也是9的倍数?还在思索中.

果然，4级的不都能被9整除，却必能被3整除!
如：
6915=1596+1659+1695+1965
7149=1479+1749+1947+1974
8142=1428+1482+2418+2814

7级的不必再劳神验证了，本题暂告一段落，证明极简，待后给出.

性质1
任一自然数与其各位数字之和，均以3或9为模同余。
性质2
若两个自然数互为同字异构数，则它们以3或9为模同余。
性质3
若两个自然数互为同字异构数，则它们之差能被9整除。

定理
自归数都是3的倍数。

证明：
根据自归数的定义，
设A0、A1、A2、…、An互为同字异构数，且A0=A1+A2+…+An，n∈[2,9]
由性质3，有A0-A1≡0 (mod 9)

当n=2时，A2=A0-A1≡0 (mod 9)
由性质2，得A0≡A1≡A2≡0 (mod 9)

当n=3时，A2+A3=A0-A1≡0 (mod 9)
显然，(2,9)=1，欲使两个以9为模同余的数之和A2+A3能被9整除，必
A2≡A3≡0 (mod 9)
由性质2，得A0≡A1≡A2≡A3≡0 (mod 9)

同理，当n=5、6、8、9时, A0≡0 (mod 9)

当n=4时，A2+A3+A4=A0-A1≡0 (mod 9)
显然，(3,9)=3，欲使三个以9为模同余的数之和A2+A3+A4能被9整除，必
A2≡A3≡A4≡0 (mod 3)
由性质2，得A0≡A1≡A2≡A3≡A4≡0 (mod 3)

同理，当n=7时, A0≡0 (mod 3)

故，
当自归数的级为2、3、5、6、8、9时，这个自归数能被9整除，当自归数的级为4、7时，这个自归数能被3整除。
证完。

晕!一不小心找到个齐次自归数：

7623^2=2376^2+2673^2+6732^2

一阶自归数的级最小为2，最大为9,
二阶自归数的级最小与最大?
三阶自归数的级最小与最大?
……
齐次自归数的阶k与级n的关系?

不会程序,想小心地再找出一个齐次自归数都难!!!!!!