a,b,c为整数,且a^2+b^3=c^4,求c的最小值.
有初中的好理解的方法吗？

wxr021按：欢迎clever同学出题讨论，希望下次标题明确，这样方便浏览和查阅，谢谢

包含负整数吗？不包含自然是0了，包含的话，最小和最大值没什么区别。
不过感觉挺难计算的，但是应该只有有限组解。

对不起，正整数

2楼duz老师说的有限组解应该是不对的。

假设a,b,c是一组解，则a^2+b^3=c^4
等式两边都乘以K^12,其中K是任意自然数，等式依然成立，则

a*K^6、b*K^4和c*K^3又是一组解。

对于x^2+y^3=z^4求解，我的想法是：

先从a^2+b^2=c^2开始，用配方法，等式两边同乘以b^4*c^6，则变成：
a^2*b^4*c^6 + b^6*c^6 = b^4*c^8
变换，得：
(a*b^2*c^3)^2 + (b^2*c^2)^3  = (b*c^2)^4
即(a*b^2*c^3) 与 (b^2*c^2) 和 (b*c^2) 是 x^2+y^3=z^4 的一组解。

因为a,b,c满足勾股定理，所以，最小答案是a=4,b=3,c=5,即：
4500^2+225^3=75^4

但是，这个是从a^2+b^2=c^2出发得到的。如果不从这个等式出发，有无更优解尚需要进一步思考。

这是2005年全国初中数学联赛决赛试卷的最后一条题目，原题是求最小值：
“3、a、b、c为整数，且a^2＋b^3＝c^4，求c的最小值。”
提供的参考答案如下：
显然c＞1. 由题设得：(c^2-a)(c^2+a)=b^3
若取 c^2-a=b, c^2+a=b^2, 则c^2=b(b+1)/2为完全平方数
最后，讨论出
当b＝8时，c^2＝36，则c=6，从而a=28；并说明了c没有比6更小的正整数解。
即：28^2+8^3=6^4

个人感觉只能通过讨论来倒推得出，或者根据不定方程来求解，如果不是考试，很有用程序的冲动 (*^__^*)

看了wxr021斑竹的帖子，才知道自己放弃的思路是可以进行下去的。

我原先的思路，也是先变换成：(c^2-a)(c^2+a)=b^3

然后我也是假设 c^2-a=b, c^2+a=b^2,

然后我走了一个弯路，即消去b：
（c^2-a）^2 = c^2+a
展开得：
a^2-2*c^2*a-a+c^4-c^2=0
方程有整数解，必须判别式是完全平方数，即：
(2c^2+1)^2-4(c^4-c^2)=8c^2+1为完全平方数。
c=1显然应当舍去，但是我漏看了c=6时候，8*6^2+1=289=17^2
然后觉得自己思路有问题，放弃了这个思路，呵呵。

要不然，尽管没有楼上消去a的做法更巧妙，应该也能得出c=6这个结论。

不过c=6的答案还是缺少一个验证：为什么一定是c^2-a=b能够得到最小的c 呢？

今天上午还有一个新的结果，本来想发布，结果看到斑竹的帖子，知道自己最新答案不是最优。

最新的思路如下：
从a^2+b^3=c^2出发。由于1+8=9，所以这里a=1,b=2,c=3是最小解。
左右两边乘以c^6,得到：
a^2*c^6 + b^3*c^6 = c^8
也就是：
[a*c^3]^2 + [b*c^2]^3 = [c^2]^4
即有：
27^2 + 18^3 = 9^4

如果不是斑竹的帖子，我还以为最小解差不多应该是 9了。

2005年初中竞赛试题
答案是6
方法先搞出6符合,然后证明1 2 3 4 5 都不符合

请六楼讲一下
“当b＝8时，c^2＝36，则c=6，从而a=28；并说明了c没有比6更小的正整数解。
即：28^2+8^3=6^4”
给个证明吧/
谢