若三角形的边a所对应的高线、b所对应的角分线、c所对应的中线三线共点，易知：a^2(a-c)=(a+c)(b+c)(b-c)。

问：
整边三角形三边(a,b,c)=1，且a所对应的高线、b所对应的角分线、c所对应的中线三线共点，这样的三角形仅如下三个？
{a,b,c}={1,1,1}
{a,b,c}={15,13,12}
{a,b,c}={308,277,35}

等价于求方程：a^2(a-c)=(a+c)(b+c)(b-c)的正整数解，且互质。

是的，仅三个解吗？望指教。。。。。。

此题似乎需要求p^6-b^2=2m(p^2-m)(2p^2-m)的正整数解，其中p为奇素数，b<p^3，m<p^2。
此时a=p(p^2-m)，c=pm，如p={3,7}时就可得到上述的2解.8IydV
p=31时,取m=858,有
{a,b,c}={3193,26447,26598}R
看来,它有无穷多解!Z

难道------
1=2^1-1    {a,b,c}={1,1,1}
3=2^2-1    {a,b,c}={15,13,12}
7=2^3-1    {a,b,c}={308,277,35}
31=2^5-1   {a,b,c}={3193,26447,26598}
……
p=2^q-1
有且只有p、q均为素数时才有解？

若然如此，本题就有些意思了!
因q，它是梅森素数，居然与几何联系在一起了？！

这样就便于程序验证了，本人不会编程，希望朋友们能助我得到前10个q的解，谢谢!

[ 本帖最后由 qqqqwqqw 于 2008-4-29 14:59 编辑 ]

晕!我用BASIC算q=7用了8小时还没结果出来,晕死!
不过庆幸的是，在70内的素数p,除了3、7、31外还没别的解呢……

qqqqwqqw，我用你的方法编程算了一下q=7
q = 7, p = 127
m = 3
{a, b, c} = {2048002, 40338, 381}

q = 11, p = 2047 = 23 * 89不行
q = 13我的程序没有得到解

整数位数多了以后要分成高位数和低位数处理了，可能这是我的程序在q = 13时没得到解的原因。
因为我是看b^2 = p^6-2m(p^2-m)(2p^2-m)是否是完全平方数
所以还有个大整数的开方，很是头痛。

NewContra先生您好：
刚在东陆看到，CRACK先生已得到
P=103，M=5928
{a，b，c}={482143，587783，610584}
且P在1000内再无其它解了！

引用:

原帖由 qqqqwqqw 于 2008-4-29 10:27 发表
NewContra先生您好：
刚在东陆看到，CRACK先生已得到
P=103，M=5928
{a，b，c}={482143，587783，610584}
且P在1000内再无其它解了！

谢谢！
我程序编得有问题
结果是错误的